Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Reordene $e^{2 x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 6.4

Combine frações.

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Etapa 6.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 6.4.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 6.4.3

Reordene $e^{2 x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Etapa 6.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Etapa 6.6

Como $\frac{1}{2} \cdot - 1$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot - 1$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 6.7

Simplifique os termos.

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Etapa 6.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 6.7.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 6.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 6.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 6.7.5

Multiplique $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 6.7.6

Multiplique.

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Etapa 6.7.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 6.7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 6.7.6.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 6.7.7

Multiplique $\frac{- 1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Etapa 6.7.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Etapa 6.8

Ao resolver $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 6.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.9.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{5}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 6.9.2

Reescreva $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ como $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 6.9.3

Simplifique.

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Etapa 6.9.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 6.9.3.2

Combine $\frac{\sin (x)}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 6.9.3.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 6.9.3.4

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 6.9.4

Reordene os fatores em $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Etapa 7.1.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 7.1.3

Remova os parênteses.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.2

Fatore $e^{2 x}$ de $- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.3

Combine $\frac{4}{5}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Fatore $\frac{4 e^{2 x}}{5}$ de $\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 7.2.3.1.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $4 e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.6

Combine $\frac{2}{5}$ e $\sin (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.3.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (x)}{4}$ para o numerador.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.7.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.7.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.8

Combine $\frac{1}{5}$ e $\cos (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$