Cálculo Exemplos

$(5 - x) d y + (y + 3) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y + 3) d x$ dos dois lados da equação.

$(5 - x) d y = - (y + 3) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(5 - x) (y + 3)}$ .

$\frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (5 - x) d y = \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (- (y + 3)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $5 - x$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (5 - x) d y = \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (- (y + 3)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (- (y + 3)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (y + 3) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(5 - x) (y + 3)}$ para o numerador.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{(5 - x) (y + 3)} (y + 3) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y + 3$ de $(5 - x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{(y + 3) (5 - x)} (y + 3) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{(y + 3) (5 - x)} (y + 3) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{5 - x} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{1}{5 - x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = y + 3$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = y + 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 4.2.1.1.4

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{5 - x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 5 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 5 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 - x$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| 5 - x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| 5 - x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| 5 - x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| 5 - x |}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por $| 5 - x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} | 5 - x | = e^{C} | 5 - x |$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $| 5 - x |$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} | 5 - x | = e^{C} | 5 - x |$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y + 3 | = e^{C} | 5 - x |$

Etapa 5.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | 5 - x |$ .

$| y + 3 | = | 5 - x | e^{C}$

Etapa 5.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | 5 - x | e^{C}$

Etapa 5.5.4.3

Reordene os fatores em $\pm | 5 - x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | 5 - x |$

Etapa 5.5.4.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{C} | 5 - x | - 3$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm C | 5 - x | - 3$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | 5 - x | - 3$