Cálculo Exemplos

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $(1 + e^{x}) y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + e^{x}$ e $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Etapa 1.6

Some $0$ e $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Etapa 1.7

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Etapa 5.2

Some $0$ e $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Etapa 6

Divida cada termo em $(1 + e^{x}) y = C$ por $1 + e^{x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $(1 + e^{x}) y = C$ por $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $1 + e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$