Cálculo Exemplos

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reordene os fatores em $x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x}$ .

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y \frac{d y}{d x} e^{y} = 0$

Etapa 1.1.2

Subtraia $x \sqrt{x^{2} + 1}$ dos dois lados da equação.

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ por $- y e^{y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ por $- y e^{y}$ .

$\frac{- y \frac{d y}{d x} e^{y}}{- y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Etapa 1.1.3.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y e^{y}$ .

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y e^{y} d y = x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.4

Reordene os termos.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} y - e^{y} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$