Cálculo Exemplos

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(e^{x} + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.3.1.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva $- 1 y^{- 2}$ como $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

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Etapa 2.2.8.1

Simplifique.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.8.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.8.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.2.8.2.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$