Cálculo Exemplos

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - \frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 1.3.6

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

Etapa 1.3.8

Some $y^{- 2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{x}{y^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{y^{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{y^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{y^{2}} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y^{2}} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $(y - \frac{1}{y}) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - \frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.5

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.10

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $0$ .

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.3.11

Some $y^{- 2}$ e $0$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.5.3

Combine os termos.

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Etapa 8.5.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.5.3.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 8.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $\frac{x}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Etapa 9.1.3.2

Some $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $\frac{x}{y^{2}}$ de $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$