Cálculo Exemplos

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x (y^{2} - 4) d x$ dos dois lados da equação.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Etapa 3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ e $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y^{2} - 4$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ para o numerador.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{2} - 4$ de $x (y^{2} - 4)$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u = (y + 2) (y - 2)$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = (y + 2) (y - 2)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y + 2$ e $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.3.4.2

Multiplique $y + 2$ por $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Etapa 4.2.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Etapa 4.2.1.1.3.7

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Etapa 4.2.1.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.2.1.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.2

Multiplique $y - 2$ por $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Etapa 4.2.1.1.3.8.3

Some $y$ e $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Etapa 4.2.1.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.1.1.3.8.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$2 y + 0$

Etapa 4.2.1.1.3.8.4.2

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Expanda $(y + 2) (y - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Combine os termos opostos em $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $y \cdot - 2$ e $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.2

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.3

Some $y \cdot y$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.2.2.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.1.1.2.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ .

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Etapa 5.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Etapa 5.5.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Etapa 5.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Etapa 6.2

Reescreva $e^{- x^{2} + C}$ como $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Etapa 6.3

Reordene $e^{- x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Etapa 6.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$