Cálculo Exemplos

$3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$ por $3 x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$ por $3 x y$ .

$\frac{3 x y \frac{d y}{d x}}{3 x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x y \frac{d y}{d x}}{3 x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{x (3 y)} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{x (3 y)} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

Etapa 1.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.1

Fatore $3$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 x y}$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 (x y)}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 (x y)}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.3.1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.3.1

Fatore $y$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{x y}$

Etapa 1.1.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.3.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{y x}$

Etapa 1.1.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{y x}$

Etapa 1.1.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 y}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{4 x}{3 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{4 x}{3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{4}{3} + \frac{3 y}{x}$

Etapa 1.2.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{3 y}{x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{3 y}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{3 y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 3$

Etapa 1.3.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 3 \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} V^{- 1} + 3 \cdot V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3} V^{- 1} + 3 \cdot V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{V} + 3 \cdot V$

Etapa 6.1.1.1.2

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3 V} + 3 V$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 3 V - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Subtraia $V$ de $3 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{2 V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.1.2

Multiplique $\frac{4}{3 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V}{x}$

Etapa 6.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Para escrever $\frac{2 V}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 V}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V}{x} \cdot \frac{3 V}{3 V}$

Etapa 6.1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 V x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Multiplique $\frac{2 V}{x}$ por $\frac{3 V}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V (3 V)}{x (3 V)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reordene os fatores de $x (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V (3 V)}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V (3 V)}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 V \cdot V}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4.2

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.4.2.1

Mova $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 (V \cdot V)}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4.2.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 V^{2}}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 6 V^{2}}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4.4

Fatore $2$ de $4 + 6 V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2) + 6 V^{2}}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4.4.2

Fatore $2$ de $6 V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2) + 2 (3 V^{2})}{3 V x}$

Etapa 6.1.2.4.4.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (3 V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V x}$

Etapa 6.1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})}$ .

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} (\frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Combine.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \cdot \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{3 V x}$

Etapa 6.1.5.2

Combine.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (3 V x)}$

Etapa 6.1.5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (3 V x)}$

Etapa 6.1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (V x)}$

Etapa 6.1.5.4

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (V x)}$

Etapa 6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{2 (2 + 3 V^{2}) (x)}$

Etapa 6.1.5.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{2 (2 + 3 V^{2}) x}$

Etapa 6.1.5.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{(2 + 3 V^{2}) (x)}$

Etapa 6.1.5.6

Cancele o fator comum de $2 + 3 V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{(2 + 3 V^{2}) x}$

Etapa 6.1.5.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.6

Reescreva a equação.

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{V}{2 + 3 V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u = 2 + 3 V^{2}$ . Depois, $d u = 6 V d V$ , então, $\frac{1}{6} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u = 2 + 3 V^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $2 + 3 V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 + 3 V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 3 V^{2}$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $2$ em relação a $V$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d V} [3 V^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $3 V^{2}$ em relação a $V$ é $3 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 3 (2 V)$

Etapa 6.2.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$0 + 6 V$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Some $0$ e $6 V$ .

$6 V$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{6 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{6 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{3}{12} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.3

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{12} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.3.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + 3 V^{2}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| 2 + 3 V^{2} |)$ .

$4 \frac{\ln (| 2 + 3 V^{2} |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\ln (| 2 + 3 V^{2} |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Etapa 6.3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Etapa 6.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Simplifique $\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - 4 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Etapa 6.3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Etapa 6.3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}) = 4 C$

Etapa 6.3.5

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Etapa 6.3.6

Reescreva $\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}) = 4 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}$

Etapa 6.3.7

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Etapa 6.3.7.2

Multiplique os dois lados por $x^{4}$ .

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Etapa 6.3.7.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Etapa 6.3.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| 2 + 3 V^{2} | = e^{4 C} x^{4}$

Etapa 6.3.7.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 2 + 3 V^{2} | = x^{4} e^{4 C}$

Etapa 6.3.7.4

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.7.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 + 3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C}$

Etapa 6.3.7.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$

Etapa 6.3.7.4.3

Divida cada termo em $3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.3.7.4.3.1

Divida cada termo em $3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$ por $3$ .

$\frac{3 V^{2}}{3} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.3.7.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.7.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.7.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 V^{2}}{3} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.3.7.4.3.2.1.2

Divida $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.3.7.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V^{2} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 6.3.7.4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}}$

Etapa 6.3.7.4.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}}$ .

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Etapa 6.3.7.4.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}{3}}$

Etapa 6.3.7.4.5.2

Reescreva $\sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.3.7.4.5.3

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.7.4.5.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 6.3.7.4.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.7.4.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 6.3.7.4.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6.3.7.4.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm x^{4} e^{4 C} - 2) \cdot 3}}{3}$

Etapa 6.3.7.4.5.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(\pm x^{4} e^{4 C} - 2) \cdot 3}}{3}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (\pm x^{4} e^{4 C} - 2)}}{3}$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (\pm x^{4} C - 2)}}{3}$

Etapa 6.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$