Cálculo Exemplos

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Etapa 2

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Etapa 2.2.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Etapa 2.3.2

Divida $6$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Etapa 2.4

Fatore $v$ de $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Etapa 2.5

Reordene $v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Etapa 3

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 3.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 3.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 3.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Etapa 3.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 4

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Etapa 4.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Etapa 4.3

Mova $6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Etapa 5

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Etapa 6

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 7

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 8

Integre o lado direito.

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Etapa 8.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Etapa 8.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 8.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 8.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Etapa 9

Divida cada termo em $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 9.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.3.1.2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Etapa 11

Reescreva a equação.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Etapa 12

Integre os dois lados.

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Etapa 12.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Etapa 12.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Etapa 12.3

Integre o lado direito.

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Etapa 12.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Etapa 12.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Etapa 12.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Etapa 12.3.4

Como $C_{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 12.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.3.5.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 12.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 12.3.5.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 12.3.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 12.3.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 12.3.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Etapa 12.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Etapa 12.3.7

Simplifique.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Etapa 12.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Etapa 12.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$