Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 3 (y + x^{2}) = \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y + 3 x^{2} = \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x} - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x}{1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4.2.5

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{3}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{3}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{3}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{3} x + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1

Mova $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{1 + 3} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.2.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{2} \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 3.3.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Etapa 3.3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2} \sin (x)$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Etapa 3.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Etapa 3.3.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.3

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2.4

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x \sin (x)}{1}$

Etapa 3.3.5.2.5

Divida $x \sin (x)$ por $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Etapa 7.2

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$x^{3} y = - 3 \int x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x \sin (x) d x$

Etapa 7.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Etapa 7.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Etapa 7.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Etapa 7.7

Simplifique.

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Etapa 7.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Etapa 7.7.2

Multiplique $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Etapa 7.8

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Etapa 7.9

Simplifique.

$x^{3} y = - \frac{3 x^{5}}{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Etapa 7.10

Reordene os termos.

$x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x^{3}$ de $- \frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $- \frac{3}{5} x^{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot x^{2}}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 8.3.1.4.1

Fatore $x$ de $- x \cos (x)$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$