Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $x$ e $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $\ln (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = \ln (y)$ . Depois, $d u = \frac{1}{y} d y$ , então, $y d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = \ln (y)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Etapa 2.2.1.1.2

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.3.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.3.2.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a equação como $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.3.2.5

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.3.2.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.3.2.7

Reescreva $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Etapa 3.3.2.8

Reescreva a equação como $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.3.2.9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + K}}$