Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $2$ de $4 \sin (3 t)$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

Etapa 1.3.2.4

Divida $2 \sin (3 t)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{- 1}{2}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 1}{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \frac{1}{2} t}$

Etapa 2.4

Combine $t$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Etapa 3.2.3

Combine $e^{- \frac{t}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Etapa 3.2.4

Combine $y$ e $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Etapa 7.2

Deixe $u = - \frac{t}{2}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{2} d t$ , então, $- 2 d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = - \frac{t}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Etapa 7.2.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{t}{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.3.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

Etapa 7.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

Etapa 7.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Etapa 7.4

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Etapa 7.5.2

Reordene $e^{u}$ e $\sin (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

Etapa 7.6

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \sin (- 6 u)$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

Etapa 7.7

Como $- 6$ é constante com relação a $u$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

Etapa 7.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

Etapa 7.8.2

Reordene $e^{u}$ e $\cos (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

Etapa 7.9

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \cos (- 6 u)$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

Etapa 7.10

Como $6$ é constante com relação a $u$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

Etapa 7.11

Simplifique multiplicando.

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Etapa 7.11.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Etapa 7.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Etapa 7.11.3

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

Etapa 7.12

Ao resolver $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ , descobrimos que $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

Etapa 7.13

Reescreva $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ como $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Etapa 7.14

Simplifique.

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Etapa 7.14.1

Combine $- 4$ e $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

Etapa 7.14.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Etapa 7.15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Etapa 7.16

Simplifique.

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Etapa 7.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Etapa 7.16.2

Combine $6$ e $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Etapa 7.16.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.16.4

Combine $6$ e $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.17.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.17.1.1

Fatore $2$ de $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.17.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17.1.2.4

Divida $3 t$ por $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.17.2.1

Fatore $2$ de $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

Etapa 7.17.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.17.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

Etapa 7.17.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

Etapa 7.17.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

Etapa 7.17.2.2.4

Divida $3 t$ por $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Combine $t$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

Etapa 8.1.2

Combine $e^{- \frac{t}{2}}$ e $\frac{4}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ por $e^{- \frac{t}{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ por $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.1

Mova $4$ para a esquerda de $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.2

Fatore $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ de $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ .

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.3

Combine.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Etapa 8.2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$