Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{y^{3} - 1}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.3.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y^{3} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $y^{3} - 1$ de $x^{2} (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{3} - 1$ de $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Depois, $d u = 3 y^{2} d y$ , então, $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y - 1$ e $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.5

Some $2 y + 1$ e $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Etapa 4.2.1.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

Etapa 4.2.1.1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

Etapa 4.2.1.1.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.9.1

Some $1$ e $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.9.2

Multiplique $y^{2} + y + 1$ por $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.4.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.4

Some $1$ e $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.8

Some $- 2 y$ e $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.9

Some $2 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.10

Some $- y$ e $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.11

Some $3 y^{2}$ e $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

Etapa 4.2.1.1.4.4.12

Some $- 1$ e $1$ .

$3 y^{2} + 0$

Etapa 4.2.1.1.4.4.13

Some $3 y^{2}$ e $0$ .

$3 y^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.2

Multiplique $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3.1.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Expanda $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Combine os termos opostos em $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $y \cdot 1$ e $- 1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.2

Subtraia $1 y$ de $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.3

Some $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.2.1.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.2.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.3.1

Combine os termos opostos em $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.3.1.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3.1.2

Some $y^{3}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $3 (- \frac{1}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ .

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Etapa 5.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Etapa 5.5.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

Etapa 5.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.5.1

Para escrever $3 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.5.3.1

Fatore $3$ de $3 x \cdot x - 3$ .

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Etapa 5.5.5.3.1.1

Fatore $3$ de $3 x \cdot x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.1.3

Fatore $3$ de $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.3.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Etapa 5.5.5.4

Para escrever $3 C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.5.6.1

Fatore $3$ de $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ .

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Etapa 5.5.5.6.1.1

Fatore $3$ de $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.1.2

Fatore $3$ de $3 C x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.1.3

Fatore $3$ de $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.5.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.5.5.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.5.6.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Etapa 5.5.5.6.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$