Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

Etapa 1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.5.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 7.7

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 7.7.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 7.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 7.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Etapa 7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Etapa 7.8.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 7.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Etapa 7.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Etapa 7.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 7.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.13.1

Reescreva $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 7.13.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 7.13.2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 7.13.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Etapa 7.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.15

Reordene os termos.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Etapa 8.1.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Etapa 8.1.3

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ por $e^{- 2 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.2

Multiplique $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.3

Multiplique $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.5

Para escrever $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.6.1

Multiplique $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.8.1

Fatore $3 e^{- 2 x}$ de $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.8.1.1

Fatore $3 e^{- 2 x}$ de $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.8.1.2

Fatore $3 e^{- 2 x}$ de $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.8.1.3

Fatore $3 e^{- 2 x}$ de $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.9

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.10

Combine $C$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.12.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.12.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.12.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.2.12.5

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.4

Multiplique $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- 6 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.6

Fatore $- 1$ de $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.7

Fatore $- 1$ de $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.8

Fatore $- 1$ de $4 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.9

Fatore $- 1$ de $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.10.1

Reescreva $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ como $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.3.10.3

Reordene os fatores em $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$