Cálculo Exemplos

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.2.2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$