Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x} i$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Combine $\frac{\sqrt{x}}{x}$ e $i$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x} i}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Como $i$ é constante com relação a $x$ , mova $i$ para fora da integral.

$y + C_{1} = i \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.3.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = i \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.3.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = i \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y + C_{1} = 2 i x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 2 i x^{\frac{1}{2}} + K$