Cálculo Exemplos

$(2 x + 3) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(2 x + 3) d x$ dos dois lados da equação.

$(x^{2} - 1) d y = - (2 x + 3) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$1 d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 3) d x$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} (2 x + 3) d x$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$1 d y = - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x + 3) d x$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Etapa 3.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Etapa 3.5.3

Combine $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ e $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

Etapa 3.6

Multiplique $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - 3 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Etapa 3.6.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Etapa 3.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Etapa 3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.5

Deixe $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Deixe $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Etapa 4.3.5.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.3.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.5.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.5.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Etapa 4.3.5.1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 4.3.5.1.3.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Etapa 4.3.5.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Etapa 4.3.5.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.3.5.1.3.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.8.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.11

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Etapa 4.3.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.13

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 4.3.13.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.1.6.5.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Etapa 4.3.13.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Etapa 4.3.13.1.6.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Etapa 4.3.13.1.7

Mova $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Etapa 4.3.13.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 4.3.13.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.13.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.13.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.13.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.13.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.2.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.2.2.1.1.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.3

Resolva $B$ em $1 = 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.3.1

Reescreva a equação como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.3.2

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.3.2.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 4.3.13.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.13.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.13.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.13.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.5.2

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Etapa 4.3.13.5.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 4.3.14

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Etapa 4.3.15

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Etapa 4.3.16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Etapa 4.3.17

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.17.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.17.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.17.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.17.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.17.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.17.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.17.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Etapa 4.3.18

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Etapa 4.3.19

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.20

Deixe $u_{3} = x - 1$ . Depois, $d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 4.3.20.1

Deixe $u_{3} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.20.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.3.20.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.20.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.20.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.20.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.20.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.21

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C_{4}))$

Etapa 4.3.22

Simplifique.

$y + C_{1} = - \ln (| u_{1} |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.23

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 4.3.23.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.23.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.23.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x - 1$ .

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$