Cálculo Exemplos

$2 y d x + 3 x d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $2 y d x$ dos dois lados da equação.

$3 x d y = - 2 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $3 \ln (| y |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.1.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida ${| y |}^{3}$ por $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 5.5.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.3.2

Eleve $\sqrt[3]{x^{2}}$ à potência de $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.5.4.3.4

Some $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Etapa 5.5.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ como $x^{2}$ .

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Etapa 5.5.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.5.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.5.4.3.5.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 5.5.4.3.5.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Etapa 5.5.4.3.5.5

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.5.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 5.5.4.3.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.5.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Etapa 5.5.4.3.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Etapa 5.5.4.3.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 5.5.4.3.5.5.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.5.4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.3

Fatore $x^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.5.4.5.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.1.1

Fatore $x$ de $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Etapa 5.5.4.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Etapa 5.5.4.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Etapa 5.5.4.5.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Etapa 5.5.5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$