Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 1$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ .

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{1}{4}$ dos dois lados da equação.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$K = \frac{8 - 1}{4}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $1$ de $8$ .

$K = \frac{7}{4}$

Etapa 5

Substitua $\frac{7}{4}$ por $K$ em $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{7}{4}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$