Cálculo Exemplos

$x^{- 2} y^{- 5} d x + x^{- 3} y^{- 4} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x^{- 2} y^{- 5} d x$ dos dois lados da equação.

$x^{- 3} y^{- 4} d y = - x^{- 2} y^{- 5} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $x^{3} y^{5}$ .

$x^{3} y^{5} (x^{- 3} y^{- 4}) d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1

Mova $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{3} y^{5} y^{- 4} d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- 3 + 3} y^{5} y^{- 4} d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.1.3

Some $- 3$ e $3$ .

$x^{0} y^{5} y^{- 4} d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.2

Simplifique $x^{0} y^{5} y^{- 4}$ .

$y^{5} y^{- 4} d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.3

Multiplique $y^{5}$ por $y^{- 4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{5 - 4} d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.3.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$y^{1} d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.4

Simplifique $y^{1}$ .

$y d y = x^{3} y^{5} (- x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y d y = - x^{3} y^{5} (x^{- 2} y^{- 5}) d x$

Etapa 3.6

Multiplique $x^{3}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1

Mova $x^{- 2}$ .

$y d y = - (x^{- 2} x^{3}) y^{5} y^{- 5} d x$

Etapa 3.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y d y = - x^{- 2 + 3} y^{5} y^{- 5} d x$

Etapa 3.6.3

Some $- 2$ e $3$ .

$y d y = - x^{1} y^{5} y^{- 5} d x$

Etapa 3.7

Simplifique $- x^{1} y^{5} y^{- 5}$ .

$y d y = - x y^{5} y^{- 5} d x$

Etapa 3.8

Multiplique $y^{5}$ por $y^{- 5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.1

Mova $y^{- 5}$ .

$y d y = - x (y^{- 5} y^{5}) d x$

Etapa 3.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y d y = - x y^{- 5 + 5} d x$

Etapa 3.8.3

Some $- 5$ e $5$ .

$y d y = - x y^{0} d x$

Etapa 3.9

Simplifique $- x y^{0}$ .

$y d y = - x d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - x d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$