Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 + 4 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $4$ de $1 + 4 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $4$ de $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4$ de $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4$ de $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.5.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.5.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ como $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Etapa 3.2

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$