Cálculo Exemplos

$(6 x y - y^{3}) d x + (4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y - y^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x y - y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [6 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $6 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $y$ é $6 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - (3 y^{2})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 3 y^{2}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $0$ e $6 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 3 y^{2}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 3 y^{2} + 6 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 y^{2} + 6 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y - y^{3} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 6 x y d x + \int - y^{3} d x$

Etapa 5.2

Como $6 y$ é constante com relação a $x$ , mova $6 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 6 y \int x d x + \int - y^{3} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{3} d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{3} x + C$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{3} x + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y x^{2}$ em relação a $y$ é $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{3} x]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{3} x$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} - x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 9.1.2

Some $3 y^{2} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 0 + 3 y^{2} x$

Etapa 9.1.3.2

Some $4 y - 3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 3 y^{2} x$

Etapa 9.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $- 3 x y^{2}$ e $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 y^{2} x + 3 y^{2} x$

Etapa 9.1.3.4

Some $- 3 y^{2} x$ e $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Etapa 9.1.3.5

Some $4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $4 y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Etapa 10.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (y) = 4 \int y d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + 2 y^{2} + C$