Cálculo Exemplos

$(x y + y^{2}) \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x y + y^{2}) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $x y + y^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(x y + y^{2}) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $x y + y^{2}$ .

$\frac{(x y + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x y + y^{2}} = \frac{y^{2}}{x y + y^{2}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x y + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x y + y^{2}} = \frac{y^{2}}{x y + y^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y + y^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $y$ de $x y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y x + y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y x + y \cdot y}$

Etapa 1.1.3.1.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y (x + y)}$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x + y)}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x + y)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{y}{x + y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{y}{x + y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}}$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.7

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.8

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}}$

Etapa 1.9.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.4.1

Fatore $V$ de $V - V (1 + V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.4.1.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.1.2

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.1.3

Fatore $V$ de $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.1.4

Fatore $V$ de $V \cdot 1 + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.5

Subtraia $V$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.6

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.4.6.1

Fatore o negativo.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.6.2

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.6.3

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{1})}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 1}}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.4.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2}}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2}}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.2.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{2}}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x (1 + V)}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + V}{V^{2}}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $\frac{V^{2}}{1 + V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $1 + V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 + V}{V^{2}}$ para o numerador.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Fatore $1 + V$ de $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3.3

Fatore $1 + V$ de $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) (x)}$

Etapa 6.1.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1 + V}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + V}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Mova $V^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 + V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (1 + V) V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $(1 + V) V^{- 2}$ .

$\int 1 V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Multiplique $V^{- 2}$ por $1$ .

$\int V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Multiplique $V$ por $V^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1

Multiplique $V$ por $V^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{1} V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int V^{- 2} + V^{1 - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int V^{- 2} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{- 2}$ com relação a $V$ é $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

A integral de $V^{- 1}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Simplifique.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 8.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 8.4.2

Divida $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 8.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x}{y}) + C$

Etapa 8.5.2

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{y} + C$