Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (7 x) d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u = 7 x$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Deixe $u = 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 2.3.4.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Etapa 2.3.4.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Etapa 2.3.5

Combine $\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{\sec^{2} (u)}{7} d u$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\frac{1}{7} \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 2.3.7

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \frac{1}{7} (\tan (u) + C_{3})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (u) + C_{4}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (7 x) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C$