Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} + 4$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} + 4$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} + 4$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5 x^{3}}{x} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5 x^{3}}{x} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{3}}{x} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Fatore $x$ de $5 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{1} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2.5

Divida $5 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$