Cálculo Exemplos

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 y^{3} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y^{3}$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- 6 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y^{2} + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y^{2}$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 6 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} + 3 y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 6 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $3 x^{2} + 3 y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $3 x y^{2} + x^{3}$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $3 x y^{2} + x^{3}$ por $N$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $3 y^{2}$ de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $3$ de $- 9 y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $3 x y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $x$ de $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 3 y^{2}$ e $3 y^{2} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (x^{2} + 3 y^{2})$ como $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 4.3.4.5

Reordene os termos.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Etapa 4.3.4.6

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Etapa 4.3.4.7

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $- 2 y^{3} + 1$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $- 2 y^{3} + 1$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{3}$ .

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.5

Fatore $- 1$ de $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.6

Reescreva $- (2 y^{3} - 1)$ como $- 1 (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Etapa 6.8

Multiplique $3 x y^{2} + x^{3}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.9

Multiplique $3 x y^{2} + x^{3}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.10

Fatore $x$ de $3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Etapa 6.10.1

Fatore $x$ de $3 x y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.10.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.10.3

Fatore $x$ de $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.11.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.11.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.11.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $\frac{1}{x^{2}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Etapa 8.3

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

Etapa 8.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

Etapa 8.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ .

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Etapa 11.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ e $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.3

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.6

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.10

Some $0$ e $2 y x$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.11

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.12

Combine $y$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.13

Combine $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.14

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.15

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.15.1

Fatore $x$ de $2 y x$ .

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.15.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.15.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.15.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.16

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 11.3.16.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.16.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.17

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.18

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.20

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.21

Para escrever $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.23

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.24

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.3.25

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3

Combine os termos.

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Etapa 11.5.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.3

Combine $y^{3}$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.7

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.8

Combine $y$ e $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.11

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 11.5.3.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.11.2

Divida $2 y$ por $1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.13

Subtraia $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.14

Some $- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.15

Reescreva $\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ como um produto.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.16

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.17

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.3.17.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 11.5.3.17.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.17.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.17.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 11.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Some $- 2 y^{3}$ e $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{1}{x^{3}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x^{3}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 13.3

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 13.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 13.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 13.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Etapa 13.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.6.1

Reescreva $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 13.6.2

Simplifique.

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Etapa 13.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Etapa 13.6.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Etapa 13.6.2.3

Multiplique $2$ por $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $y^{3} + x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.1.2

Fatore $y$ de $y^{3} + x^{2} y$ .

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Etapa 15.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.1.2.2

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.1.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.2

Para escrever $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.3.1

Multiplique $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.5.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 15.5.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.5.6

Remova os parênteses.

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$