Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $2 y - 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 1.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

Etapa 1.2.1.1.2

Reescreva $4$ como $- 2$ mais $6$

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

Etapa 1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Etapa 1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $2 y - 4$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $2$ de $2 y + 2 \cdot - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2 y - 4$ por $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $2 y - 4$ e $2$ .

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Etapa 1.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Etapa 1.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Etapa 1.2.5.2

Divida $(3 x - 2) (x + 2)$ por $1$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

Etapa 1.2.6

Expanda $(3 x - 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

Etapa 1.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

Etapa 1.2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.7.1.1.1

Mova $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.7.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $2 x$ de $6 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

Etapa 3.1.3

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

Etapa 3.1.4

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ .

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Etapa 3.4.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Etapa 3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$