Cálculo Exemplos

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - 10 x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 10 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 10 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x$ por $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 6.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2 y - 10 x^{2}$ por $x$ .

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1

Mova $x$ .

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

Etapa 7.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

Etapa 7.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

Etapa 7.3.3

Some $1$ e $2$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = x^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ .

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Etapa 13.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $2 y x$ e $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

Etapa 13.1.2.2

Subtraia $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

Etapa 13.1.2.3

Some $- 10 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- 10 x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

Etapa 14.3

Como $- 10$ é constante com relação a $x$ , mova $- 10$ para fora da integral.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 14.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.5.1

Reescreva $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 14.5.2

Simplifique.

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Etapa 14.5.2.1

Combine $- 10$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $4$ .

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Etapa 14.5.2.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

Etapa 14.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Etapa 16

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

Etapa 16.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$