Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 5} y = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x - 5} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{1}{x - 5}$ .

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Etapa 1.2.1

Deixe $u = x - 5$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.2.1.1

Deixe $u = x - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.2.1.1.1

Diferencie $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.1.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 1.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$e^{\ln (| x - 5 |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x - 5)}$

Etapa 1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x - 5$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x - 5$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x - 5$ .

$(x - 5) \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{x - 5}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique $x - 5$ por ${(x - 5)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $x - 5$ por ${(x - 5)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Eleve $x - 5$ à potência de $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1 + 2}$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 2.4

Use o teorema binomial.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Etapa 2.5.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $25$ por $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Etapa 2.5.4

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x - 5) y] = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 5) y] d x = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$(x - 5) y = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$(x - 5) y = \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Etapa 6.3

Como $- 15$ é constante com relação a $x$ , mova $- 15$ para fora da integral.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 \int x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Etapa 6.5

Como $75$ é constante com relação a $x$ , mova $75$ para fora da integral.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 \int x d x + \int - 125 d x$

Etapa 6.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 125 d x$

Etapa 6.7

Aplique a regra da constante.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Simplifique.

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Etapa 6.8.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Etapa 6.8.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 125 x + C$

Etapa 6.8.2

Simplifique.

$(x - 5) y = \frac{x^{4}}{4} - 5 x^{3} + \frac{75 x^{2}}{2} - 125 x + C$

Etapa 6.8.3

Reordene os termos.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ por $x - 5$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ por $x - 5$ .

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{\frac{x^{4}}{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $\frac{x^{4}}{4}$ por $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.5

Combine $\frac{75}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75 x^{2}}{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.7

Multiplique $\frac{75 x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.2

Para escrever $- \frac{5 x^{3}}{x - 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 (x - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{5 x^{3}}{x - 5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.3.2

Reordene os fatores de $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.5.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4$ .

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Etapa 7.3.5.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.5.1.2

Fatore $x^{3}$ de $- 5 x^{3} \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.5.1.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.5.2

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.6

Para escrever $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 (x - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.7.1

Multiplique $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{2 (x - 5) \cdot 2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.9.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.3.9.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} (x - 20)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9.1.2

Fatore $x^{2}$ de $75 x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20) + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9.4

Mova $- 20$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 \cdot x + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.9.5

Multiplique $75$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.10

Para escrever $- \frac{125 x}{x - 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 (x - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.11.1

Multiplique $\frac{125 x}{x - 5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.11.2

Reordene os fatores de $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.13.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.13.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.1.2

Fatore $x$ de $- 125 x \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.1.3

Fatore $x$ de $x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150) - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x (x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.13.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.13.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.13.3.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x (x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.3.1.2

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{x (x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.3.3

Mova $150$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.13.4.1

Mova $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 (x \cdot x) + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.5

Multiplique $- 125$ por $4$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.13.6

Fatore $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.3.13.6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

$q = \pm 1$

Etapa 7.3.13.6.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

Etapa 7.3.13.6.3

Substitua $10$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $10$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.3.13.6.3.1

Substitua $10$ no polinômio.

$10^{3} - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$1000 - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.3

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$1000 - 20 \cdot 100 + 150 \cdot 10 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.4

Multiplique $- 20$ por $100$ .

$1000 - 2000 + 150 \cdot 10 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.5

Subtraia $2000$ de $1000$ .

$- 1000 + 150 \cdot 10 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.6

Multiplique $150$ por $10$ .

$- 1000 + 1500 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.7

Some $- 1000$ e $1500$ .

$500 - 500$

Etapa 7.3.13.6.3.8

Subtraia $500$ de $500$ .

$0$

Etapa 7.3.13.6.4

Como $10$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 10$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500}{x - 10}$

Etapa 7.3.13.6.5

Divida $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ por $x - 10$ .

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Etapa 7.3.13.6.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$10$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$150 x$

$500$

Etapa 7.3.13.6.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$

Etapa 7.3.13.6.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Etapa 7.3.13.6.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Etapa 7.3.13.6.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Etapa 7.3.13.6.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Etapa 7.3.13.6.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Etapa 7.3.13.6.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$100 x$

Etapa 7.3.13.6.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 x^{2} + 100 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$

Etapa 7.3.13.6.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$

Etapa 7.3.13.6.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Etapa 7.3.13.6.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $50 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Etapa 7.3.13.6.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							+	$50 x$	-	$500$

Etapa 7.3.13.6.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $50 x - 500$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$

Etapa 7.3.13.6.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$
										$0$

Etapa 7.3.13.6.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 10 x + 50$

Etapa 7.3.13.6.6

Escreva $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ como um conjunto de fatores.

$y = \frac{x ((x - 10) (x^{2} - 10 x + 50))}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 7.3.14

Para escrever $\frac{C}{x - 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.3.15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 (x - 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.15.1

Multiplique $\frac{C}{x - 5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$

Etapa 7.3.15.2

Reordene os fatores de $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.3

Mova $- 10$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 10 \cdot x) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.4

Expanda $(x^{2} - 10 x) (x^{2} - 10 x + 50)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.17.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.17.5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{2 + 2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.1.2

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.17.5.3.1

Mova $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.3.17.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.3.3

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.4

Mova $50$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 \cdot x^{2} - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.17.5.5.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.17.5.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x^{1}) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{2 + 1} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.5.3

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x \cdot x - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.17.5.7.1

Mova $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.8

Multiplique $- 10$ por $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.5.9

Multiplique $50$ por $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.6

Subtraia $10 x^{3}$ de $- 10 x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 50 x^{2} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.7

Some $50 x^{2}$ e $100 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Etapa 7.3.17.8

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + 4 C}{4 (x - 5)}$