Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 15$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante com relação a $t$ , mova $12$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 3 t^{2} - 1$ . Depois, $d u = 6 t d t$ , então, $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 3 t^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$6 t + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $6 t$ e $0$ .

$6 t$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $t$ e $15$ por $s$ em $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$15 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 15$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 15$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 15$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 15$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 15$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Fatore $2$ de $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 15$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 15$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$2^{3} + K = 15$

Etapa 4.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + K = 15$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$K = 15 - 8$

Etapa 4.3.2

Subtraia $8$ de $15$ .

$K = 7$

Etapa 5

Substitua $7$ por $K$ em $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $7$ por $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 7$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Use o teorema binomial.

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.4

Aplique a regra do produto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.7

Multiplique $27$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.9

Aplique a regra do produto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.11

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.11.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.12

Multiplique $9$ por $6$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.14

Multiplique $54$ por $1$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.15

Multiplique $3$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.16

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.17

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 7$

Etapa 5.2.2.18

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 7$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Combine $81$ e $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.1.2

Combine $\frac{81}{2}$ e $t^{8}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Fatore $2$ de $- 108 t^{6}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Fatore $2$ de $54 t^{4}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.3.2

Cancele o fator comum.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.3.3

Reescreva a expressão.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 12 t^{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.4.2

Cancele o fator comum.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.4.3

Reescreva a expressão.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 7$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 7$

Etapa 5.3

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.4

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 14}{2}$

Etapa 5.6.2

Some $1$ e $14$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{15}{2}$