Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 3}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x^{2} + x}{y + 3}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x \cdot x + x}{y + 3}$

Etapa 1.2.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 3}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 3}$

Etapa 1.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x (x + 1)}{y + 3}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x (x + 1)}{y + 3}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

Etapa 1.2.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

Etapa 1.2.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y + 3) d y = (x^{2} + x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y + 3 d y = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int 3 d y = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $\frac{x^{3}}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Etapa 3.3.2

Subtraia $\frac{x^{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

Etapa 3.3.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $6$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$3 y^{2} + 18 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{3}}{3}$ para o numerador.

$3 y^{2} + 18 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 y^{2} + 18 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.3

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} + 18 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.4

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 18 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5.2

Fatore $2$ de $6$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5.3

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5.4

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.7

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $18 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 18 y = 0$

Etapa 3.4.4

Reordene $3 y^{2}$ e $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 18 y = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 18$ e $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $18$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.7.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5

Fatore $12$ de $324 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ .

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Etapa 3.7.1.5.1

Fatore $12$ de $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5.2

Fatore $12$ de $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5.3

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5.4

Fatore $12$ de $72 K$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5.5

Fatore $12$ de $12 (27) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5.6

Fatore $12$ de $12 (27 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5.7

Fatore $12$ de $12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6

Reescreva $12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ como $2^{2} \cdot (3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ .

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Etapa 3.7.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 27)}}{3}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 27)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$