Cálculo Exemplos

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ por $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ por $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 1.1.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Eleve $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Eleve $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Etapa 1.1.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.1.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ como $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

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Etapa 1.1.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ como ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Etapa 1.1.3.3.6.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Depois, $d u = - 8 x d x$ , então, $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + 2 x$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.1.1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.1.1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.1.1.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.3.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4.3.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

Etapa 2.3.1.1.4.3.5

Some $- 2$ e $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

Etapa 2.3.1.1.4.3.6

Some $- 4 x$ e $0$ .

$- 4 x - 4 x$

Etapa 2.3.1.1.4.3.7

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$- 8 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

Etapa 2.3.2.3

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$