Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ .

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Etapa 1.2

Fatore $s$ de $\frac{s}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Etapa 1.3

Reordene $s$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{1}{t}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (t)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$t$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $t$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $t$ .

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{t}$ e $s$ .

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

Etapa 7.2

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

Etapa 7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

Etapa 7.4

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Simplifique.

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

Etapa 7.5.2

Simplifique.

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Etapa 7.5.2.1

Some $- \cos (t)$ e $\cos (t)$ .

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

Etapa 7.5.2.2

Some $t \sin (t)$ e $0$ .

$t s = t \sin (t) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $t s = t \sin (t) + C$ por $t$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $t s = t \sin (t) + C$ por $t$ .

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $s$ por $1$ .

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3.1.2

Divida $\sin (t)$ por $1$ .

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$