Cálculo Exemplos

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x y - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 3 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = 3 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $y$ de $3 y - 1 \cdot 2 y$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{y \cdot 3 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (3 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (3 - 2)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y}{y^{2}}$

Etapa 4.3.4

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{1}}{y^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Etapa 4.3.4.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.4.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Etapa 4.3.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Etapa 4.3.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$ pelo fator de integração $y$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

$y^{2} y d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{2} y^{1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Etapa 6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2 + 1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $3 x y - 1$ por $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) y d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} d x + (3 x y \cdot y - 1 y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1

Mova $y$ .

$y^{3} d x + (3 x (y \cdot y) - 1 y) d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - 1 y) d y = 0$

Etapa 6.6

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y^{3}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - y$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $3 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$ .

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Etapa 12.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $3 x y^{2}$ e $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - y - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.2.2

Subtraia $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Etapa 12.1.2.3

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 13.5

Reescreva $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 15

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{y^{2}}{2} + C$