Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{2 y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

Etapa 1.3.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Subtraia $V$ de $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Para escrever $\frac{V}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Etapa 6.1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $V x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Multiplique $\frac{V}{x}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reordene os fatores de $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

Etapa 6.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

Etapa 6.1.2.4

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Etapa 6.1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Multiplique $\frac{1 + V^{2}}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Etapa 6.1.5.2

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.2.1

Fatore $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

Etapa 6.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Etapa 6.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.5.3

Cancele o fator comum de $1 + V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.6

Reescreva a equação.

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Deixe $u = 1 + V^{2}$ . Depois, $d u = 2 V d V$ , então, $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u = 1 + V^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Diferencie $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Etapa 6.2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + V^{2}$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Some $0$ e $2 V$ .

$2 V$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + V^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + V^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 6.3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 6.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Simplifique $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Etapa 6.3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Etapa 6.3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Etapa 6.3.5

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Etapa 6.3.6

Reescreva $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

Etapa 6.3.7

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Etapa 6.3.7.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Etapa 6.3.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Etapa 6.3.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Etapa 6.3.7.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Etapa 6.3.7.4

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Etapa 6.3.7.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Etapa 6.3.7.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Etapa 6.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$