Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Etapa 1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 4 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

Etapa 2.2

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 4 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = 4 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $4 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $4 x y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $4 x y$ por $N$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $y$ de $2 y - 1 \cdot 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 4 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{4 x}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2 x}$

Etapa 4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Etapa 5.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.5.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Etapa 5.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 5.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $4 x y$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 6.4.1

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Combine $x$ e $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.4.3

Combine $y$ e $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 6.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.6.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $4 x^{\frac{1}{2}}$ é constante com relação a $y$ , mova $4 x^{\frac{1}{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Multiplique $4$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.5

Fatore $2$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.6.4

Divida $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ em relação a $x$ é $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.9

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $y^{2}$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.12

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.13

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.14

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.1.3

Combine os termos opostos em $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1.3.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.1.3.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.2.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $x^{\frac{3}{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{\frac{3}{2}}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$