Cálculo Exemplos

$(1 + y^{2}) d x = x d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x d y = (1 + y^{2}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$