Cálculo Exemplos

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ por $2 x^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ por $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 1.2

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3

Divida $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida a fração $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Etapa 1.4

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Etapa 1.4.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Etapa 1.5

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Etapa 1.5.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique $(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Etapa 6.1.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Etapa 6.1.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.3.1

Multiplique $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

Etapa 6.1.1.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

Etapa 6.1.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.5

Multiplique $\frac{V^{2}}{2} V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.5.1

Combine $\frac{V^{2}}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.5.2

Multiplique $V^{2}$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.5.2.1

Multiplique $V^{2}$ por $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.5.2.1.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.5.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

Etapa 6.1.1.1.6

Combine $\frac{3}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Combine $- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.7

Subtraia $2 V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.8

Fatore $V$ de $V^{3} + V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.8.1

Fatore $V$ de $V^{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.8.2

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.8.3

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.8.4

Fatore $V$ de $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.10

Combine.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

Etapa 6.1.1.3.3.11

Multiplique $V$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Etapa 6.1.3.3

Cancele o fator comum de $V^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Etapa 6.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $V (V^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $V^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.1.2

Divida $A (V^{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $V^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.4.2

Divida $(B V + C) (V)$ por $1$ .

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

Etapa 6.2.2.1.1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

Etapa 6.2.2.1.1.5.6

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.6.1

Mova $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

Etapa 6.2.2.1.1.5.6.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

Etapa 6.2.2.1.1.6

Mova $A$ .

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

Etapa 6.2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $V^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $V$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $V$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 6.2.2.1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 6.2.2.1.3.4

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 6.2.2.1.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 6.2.2.1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Etapa 6.2.2.1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Etapa 6.2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1.5.2.1

Reescreva $- 1 V$ como $- V$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.2.2

Some $- V$ e $0$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.3

A integral de $\frac{1}{V}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $V$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Deixe $u = V^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 V d V$ , então, $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Deixe $u = V^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

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Etapa 6.2.2.5.1.1

Diferencie $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Etapa 6.2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V^{2} + 1$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$2 V + 0$

Etapa 6.2.2.5.1.5

Some $2 V$ e $0$ .

$2 V$

Etapa 6.2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.9

Simplifique.

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique as expressões na equação.

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Etapa 8.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1.1

Combine $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Etapa 8.1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x |)$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Etapa 8.2

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ por $2$ para eliminar as frações.

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Etapa 8.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ para o numerador.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 8.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 8.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 8.2.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| \frac{y}{x} |)$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 8.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

Etapa 8.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 8.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 8.4

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 8.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.5.1

Simplifique $- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ .

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Etapa 8.5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.5.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 8.5.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 8.5.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 8.5.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

Etapa 8.5.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.5.1.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

Etapa 8.5.1.3.2

Combine.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Etapa 8.5.1.3.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Etapa 8.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

Etapa 8.7

Reescreva $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

Etapa 8.8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.8.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Etapa 8.8.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 8.8.2.1

Expanda $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ movendo $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ para fora do logaritmo.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Etapa 8.8.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Etapa 8.8.2.3

Multiplique $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Etapa 8.8.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

Etapa 8.8.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

Etapa 8.8.6

Multiplique $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

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Etapa 8.8.6.1

Combine $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ e $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.6.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.8.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.8.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.7.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Etapa 8.8.8

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 8.8.8.1

Expanda $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ movendo $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ para fora do logaritmo.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Etapa 8.8.8.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Etapa 8.8.8.3

Multiplique $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$