Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.5

Multiplique $v^{- 1}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1.5.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.6

Simplifique $- v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Etapa 6.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $v^{- 2}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.3.3.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

Etapa 6.1.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

Etapa 6.1.3.3.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

Etapa 6.1.3.4

Simplifique $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

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Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

Etapa 6.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

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Etapa 6.7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

Etapa 6.7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Etapa 6.7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Etapa 6.7.4

Simplifique.

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Etapa 6.7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Etapa 6.7.4.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Etapa 6.7.5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.7.5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.7.5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 6.7.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.7.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 6.7.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Etapa 6.7.8

Reescreva $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ como $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Etapa 6.7.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Etapa 6.7.10

Simplifique.

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Etapa 6.7.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Etapa 6.7.10.2

Multiplique $- (- x e^{- x})$ .

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Etapa 6.7.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Etapa 6.7.10.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Etapa 6.7.10.3

Multiplique $- - e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.10.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Etapa 6.7.10.3.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$