Cálculo Exemplos

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} - \sin (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- \sin (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (y)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $\frac{1}{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = \frac{1}{y}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = \frac{1}{y}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{1}{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $1$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $M$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

Etapa 4.3.2

Divida $\frac{1}{y} + 0$ por $1$ .

$\frac{1}{y} + 0$

Etapa 4.3.3

Substitua $1$ por $M$ .

$\frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Etapa 6

Multiplique $1$ por $y$ .

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Etapa 11.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $x - y \sin (y) - x$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $- y \sin (y)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- y \sin (y)$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = \sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

Etapa 13.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

Etapa 13.6

Simplifique.

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Etapa 13.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

Etapa 13.6.2

Multiplique $\int \cos (y) d y$ por $1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

Etapa 13.7

A integral de $\cos (y)$ com relação a $y$ é $\sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

Etapa 13.8

Reescreva $- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ como $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ .

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Etapa 15.2

Multiplique $- (- y \cos (y))$ .

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Etapa 15.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Etapa 15.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$