Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (y)$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $\cos^{2} (y)$ de $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ em $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.2

Como a derivada de $\tan (y)$ é $\sec^{2} (y)$ , a integral de $\sec^{2} (y)$ é $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Etapa 3.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Etapa 3.4

Reescreva a equação como $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Etapa 3.5

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $\tan (y)$ de dentro do arco seno.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Etapa 3.6

Some $K$ aos dois lados da equação.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Etapa 3.7

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Etapa 3.8

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Etapa 3.9

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $\tan (y)$ de dentro do arco seno.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Etapa 3.10

Some $K$ aos dois lados da equação.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Etapa 3.11

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $\frac{π}{4}$ por $y$ em $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Etapa 5

Resolva $K$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $K$ de dentro do seno.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Etapa 5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Simplifique $\sin (0) + K$ .

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Etapa 5.3.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Etapa 5.3.1.2

Some $0$ e $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Etapa 5.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Etapa 5.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Etapa 5.6

Resolva $K$ .

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Etapa 5.6.1

Remova os parênteses.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Etapa 5.6.2

Remova os parênteses.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Etapa 5.6.3

Subtraia $0.90333911$ de $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Etapa 5.7

Exclua as soluções que não tornam $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ verdadeira.

$Nenhuma solução$