Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}) d x + (y + 3 x^{3} y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2} y^{3}$ em relação a $y$ é $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 5 x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $9 x^{2} y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y + 3 x^{3} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 3 x^{3} y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3 x^{3} y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 9 y^{2} x^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $0$ e $9 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2}$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $9 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} y^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $9 x^{2} y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $9 x^{2} y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$9 x^{2} y^{2} = 9 x^{2} y^{2}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$9 x^{2} y^{2} = 9 x^{2} y^{2}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Etapa 5.2

Como $3 y^{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $3 y^{3}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y^{3} \int x^{2} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{4} d x$

Etapa 5.4

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{4} d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Etapa 5.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Etapa 5.7.4

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - 5 \frac{x^{5}}{5} + C$

Etapa 5.7.5

Combine $- 5$ e $\frac{x^{5}}{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{- 5 x^{5}}{5} + C$

Etapa 5.7.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5} + C$

Etapa 5.7.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5 (1)} + C$

Etapa 5.7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Etapa 5.7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{- x^{5}}{1} + C$

Etapa 5.7.6.2.4

Divida $- x^{5}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} x^{3}$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.4

Como $- x^{5}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 x^{3} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Some $3 x^{3} y^{2}$ e $0$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{2} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $3 x^{3} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $y + 3 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Subtraia $3 x^{3} y^{2}$ de $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $y$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + \frac{y^{2}}{2} + C$