Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Etapa 1.2

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Etapa 1.4

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Etapa 1.4.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1

Mova $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

Etapa 6.1.1.1.1.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

Etapa 6.1.1.1.2

Multiplique $V^{2}$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.1

Mova $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Multiplique $V$ por $V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.2.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

Etapa 6.1.1.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

Etapa 6.1.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $V^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Some $\frac{V^{3}}{2}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Combine.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Multiplique $V^{3}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V^{3}}$ .

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $V^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Mova $V^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{- 3}$ com relação a $V$ é $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{V^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 6.3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 V^{2}, 1, 1$

Etapa 6.3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 V^{2}$

Etapa 6.3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $2 V^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 V^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3.1.2

Simplifique $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3.1.3

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3.1.4

Simplifique.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

Etapa 6.3.3.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

Etapa 6.3.3.3.2

Reordene os fatores em $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ .

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

Etapa 6.3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Reescreva a equação como $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ .

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

Etapa 6.3.4.2

Fatore $V^{2}$ de $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1

Fatore $V^{2}$ de $2 C V^{2}$ .

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

Etapa 6.3.4.2.2

Fatore $V^{2}$ de $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ .

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

Etapa 6.3.4.3

Divida cada termo em $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ por $\ln (| x |) + 2 C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.1

Divida cada termo em $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ por $\ln (| x |) + 2 C$ .

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Etapa 6.3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| x |) + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Etapa 6.3.4.3.2.1.2

Divida $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Etapa 6.3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Etapa 6.3.4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Etapa 6.3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Etapa 6.3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Etapa 6.3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}, - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Etapa 8.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Etapa 9.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Etapa 9.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Etapa 9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Etapa 10

Liste as soluções.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x, y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$