Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Etapa 3.3

Expanda $\ln (x^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Etapa 3.4

Simplifique $4 \ln (x)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$