Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (\frac{π}{2}) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Etapa 2.3.2

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Etapa 2.3.4

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\frac{π}{2}$ por $t$ e $4$ por $s$ em $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$4 = \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 4$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1 + \cos (\frac{π}{2}) + K = 4$

Etapa 4.2.1.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$1 + 0 + K = 4$

Etapa 4.2.1.2

Some $1$ e $0$ .

$1 + K = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$K = 3$

Etapa 5

Substitua $3$ por $K$ em $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $3$ por $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 3$