Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $2 - 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) - 2 y}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- y)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2 - 2 y$ por $\frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 - 2 y) (x^{2} + 1)}{2 (1 - y)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $2 - 2 y$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $2$ de $(2 - 2 y) (x^{2} + 1)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Etapa 1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Etapa 1.2.4.2

Divida $x^{2} + 1$ por $1$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(2 - 2 y) d y = (x^{2} + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 d y + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$2 y + C_{1} + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$2 y + C_{1} - 2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique.

$2 y - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 y + \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$2 y - y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.2.6

Reordene os termos.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $\frac{x^{3}}{3}$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} = x + K$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x = K$

Etapa 3.2.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $3$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- y^{2}) + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{3}}{3}$ para o numerador.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3.2

Cancele o fator comum.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3.3

Reescreva a expressão.

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x - 3 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $- 3 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 K - 3 x = 0$

Etapa 3.3.4

Mova $6 y$ .

$- 3 y^{2} - x^{3} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Etapa 3.3.5

Reordene $- 3 y^{2}$ e $- x^{3}$ .

$- x^{3} - 3 y^{2} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 6$ e $c = - x^{3} - 3 K - 3 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.4.3

Multiplique $- 3$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5

Fatore $12$ de $36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x$ .

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Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $12$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.2

Fatore $12$ de $- 12 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.3

Fatore $12$ de $- 36 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.4

Fatore $12$ de $- 36 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.5

Fatore $12$ de $12 (3) + 12 (- x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.6

Fatore $12$ de $12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.7

Fatore $12$ de $12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.6

Reescreva $12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)$ como $2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.6.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$