Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (y)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \sec^{2} (y)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (y)$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \sec^{2} (y)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (y)$ como $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int d x$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int d x$

Etapa 2.2.6

Deixe $u = 2 y$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.6.1

Deixe $u = 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.6.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2.6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int d x$

Etapa 2.2.7

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int d x$

Etapa 2.2.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int d x$

Etapa 2.2.9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int d x$

Etapa 2.2.10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.12

Simplifique.

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Etapa 2.2.12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.12.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Etapa 2.2.12.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.12.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = x + K$