Cálculo Exemplos

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} y + 2 y + 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2} y$ em relação a $y$ é $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $2 x^{2} + 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $6 x^{2} + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x^{3} + 2 x$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x^{3} + 2 x$ por $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.2.6

Some $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Etapa 5.4

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 5.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 5.4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 5.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 5.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 5.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.9

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Simplifique $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.11.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

Etapa 5.11.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 x^{2} y + 2 y + 5$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x^{2} y + 2 y + 5$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $2 x^{3} + 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $2 x^{3} + 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Etapa 6.5

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 2 x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Divida a fração $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ em duas frações.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.2.1

Fatore $2 y$ de $2 x^{2} y + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.2.1.1

Fatore $2 y$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.2.2.1.2

Fatore $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.2.2.1.3

Fatore $2 y$ de $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.2.2.2.2

Divida $2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Subtraia $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.3.2

Some $0$ e $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{5}{x^{2} + 1}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 13.3

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 13.4

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 13.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 13.6

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

Etapa 13.7

Simplifique.

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$