Cálculo Exemplos

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + x y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{3}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

Etapa 1.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Etapa 2.2.2

Como $5 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Etapa 2.4

Como $y^{3} \sin (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3} \sin (y)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

Etapa 2.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Subtraia $y$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $3 y^{2} x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $3 y^{2} x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{2} + x y^{3}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y^{2} + x y^{3}$ por $M$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $3 y$ de $- 3 y^{2} x - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $3 y$ de $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $3 y$ de $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} + x y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y^{2}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $y$ de $3 y (- y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} (1 + x y)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.5

Reordene os termos.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.6

Cancele o fator comum de $- x y - 1$ e $x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- x y$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.4

Reescreva $- (x y + 1)$ como $- 1 (x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.6

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Etapa 4.3.8

Substitua $y^{2} + x y^{3}$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y^{2} + x y^{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{2} + x y^{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} + x y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y^{2}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Fatore $y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.1.2

Fatore $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Combine $5$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.3.1

Fatore $y$ de $- x y$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.3.2

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.4

Combine $\frac{1}{y^{2}}$ e $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.5

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.1

Fatore $y^{3}$ de $y^{3} \sin (y)$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Etapa 6.7.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Etapa 8.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.4

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.6.2.2

Some $- \frac{x}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{5}{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Etapa 12.1.1.2

Some $\frac{x}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

Etapa 12.1.1.3

Subtraia $\sin (y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Some $- \frac{x}{y^{2}}$ e $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

Etapa 12.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.2.1

Some $\frac{5}{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

Etapa 12.1.2.2

Some $\sin (y)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{5}{y} + \sin (y)$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Etapa 13.4

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Etapa 13.5

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

Etapa 13.6

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

Etapa 13.7

Simplifique.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Etapa 15.2

Simplifique $5 \ln (| y |)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$