Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$